在等式两边进行函数操作时，需要确保操作是等价的，即操作后等式仍然成立。以下是一些可以和不可以进行的函数操作：

### 可以进行的函数操作：
1. **加法和减法**：在等式两边同时加上或减去同一个数或表达式。
   \[
   a = b \implies a + c = b + c
   \]
   \[
   a = b \implies a - c = b - c
   \]

2. **乘法和除法**：在等式两边同时乘以或除以同一个非零数或表达式。
   \[
   a = b \implies a \cdot c = b \cdot c
   \]
   \[
   a = b \implies \frac{a}{c} = \frac{b}{c} \quad (c \neq 0)
   \]

3. **乘方和开方**：在等式两边同时乘方或开方。
   \[
   a = b \implies a^c = b^c
   \]
   \[
   a = b \implies \sqrt[c]{a} = \sqrt[c]{b}
   \]

4. **对数和指数**：在等式两边同时取对数或指数。
   \[
   a = b \implies \log_c(a) = \log_c(b) \quad (a > 0, b > 0, c > 0, c \neq 1)
   \]
   \[
   a = b \implies c^a = c^b
   \]

5. **三角函数和反三角函数**：在等式两边同时应用三角函数或反三角函数。
   \[
   a = b \implies \sin(a) = \sin(b)
   \]
   \[
   a = b \implies \arcsin(a) = \arcsin(b) \quad (-1 \leq a \leq 1, -1 \leq b \leq 1)
   \]

### 不可以进行的函数操作：
1. **除以零**：在等式两边同时除以零是不允许的，因为除以零没有定义。
   \[
   a = b \not\implies \frac{a}{0} = \frac{b}{0}
   \]

2. **乘以零**：在等式两边同时乘以零会丢失信息，因为任何数乘以零都等于零。
   \[
   a = b \implies a \cdot 0 = b \cdot 0 \implies 0 = 0
   \]

3. **取对数的负数**：在等式两边同时取对数时，必须确保对数的参数是正数，因为对数的负数没有定义。
   \[
   a = b \not\implies \log_c(a) = \log_c(b) \quad (a \leq 0 \text{ 或 } b \leq 0)
   \]

4. **开偶数次方的负数**：在等式两边同时开偶数次方时，必须确保开方的参数是非负数，因为偶数次方的负数没有实数解。
   \[
   a = b \not\implies \sqrt[2n]{a} = \sqrt[2n]{b} \quad (a < 0 \text{ 或 } b < 0)
   \]

5. **应用非单调函数**：在等式两边同时应用非单调函数可能会导致等式不成立，因为非单调函数可能会改变等式的解。
   \[
   a = b \not\implies f(a) = f(b) \quad (\text{如果 } f \text{ 是非单调函数})
   \]

### 最终答案
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{可以进行的函数操作：} \\
1. \text{加法和减法} \\
2. \text{乘法和除法} \\
3. \text{乘方和开方} \\
4. \text{对数和指数} \\
5. \text{三角函数和反三角函数} \\
\\
\text{不可以进行的函数操作：} \\
1. \text{除以零} \\
2. \text{乘以零} \\
3. \text{取对数的负数} \\
4. \text{开偶数次方的负数} \\
5. \text{应用非单调函数}
\end{array}
}
\]