微分方程、微商、导数的顺序

931 2023-03-11 11:36

既然导数是一个整体，那么如何理解微分方程中分离变量？

这是因为接触顺序的问题。

现在高数学习中，会先接触导数，后接触微分。

dy/dx可以拆分开，是要在接触微分之后才有意义，dy与dx分别表示函数的微分与自变量的微分，是两个微分的商，（微分其实也是一种极限，所以也是极限比极限）所以导数也叫微商。既然是个商，就可以乘一下除一下化简一下（变量分离）。

但是，在接触微分之前，dy/dx，也就是导数，是直接通过极限定义的，它是函数增量与自变量增量比值的极限，注意是这个比值整体的极限。那可不可以分开看？可以，因为极限有四则运算性质，只要分母极限不为0，那么极限的比值就等于比值的极限。但是这样还会有一个问题，这只是运算上的相等，实际意义呢？比值的极限，是导数！那极限的比值是什么？其实这个时候就是微分比微分了，但是你只接触了导数，微分的概念还在后面没有涉及，因此在导数那一块，只强调了当成整体，不需要分开看。到了微分的内容，这个就有明确意义地分开了。

作者：亓官一
链接：https://www.zhihu.com/question/375365347/answer/1047120368
来源：知乎
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